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玻璃钢储罐厂家 > 产品中心 > 玻璃钢储罐
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  • 发布时间: 2022-04-02


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压杆稳定计算——轴向受压时的欧拉公式

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我们研究图7-1所示的一根两端饺支的细长压杆受轴向压力P的作用。如果给定一些扰动,使杆件处在y=f(x)的位置上,P力要使杆件弯曲,在任意截面m-n上的弯矩为Py,但弯曲着的杆件要恢复原状,当这一弯曲变形很小时,其恢复力矩可表示为EJy“。如果EJyT>Py,则杆件回复到直线状态,这是稳定的。如果EJy”<|Py,杆件将维续弯曲,不能维持直线状态。而维持原状的临界状态应为这个方程的通解是:

y=Ccoskx+'Cisinkx

根据边界条件来确定积分常数C1与C1。

x=0时,y=0,C1=0,

x=I时,y=0,C1sinl=0,

由此式可知C:=0或sinl=0。如C:为零,即杆件处于直线状态,就与杆件处于弯曲状态的前提矛盾,所以sinhl=0,由此得到从理论上说,P可有无限多个值,这些数值都会使得杆件在弯曲状态下保持平衡。但从实际情况看,必须采用其中的最小值。但n=0显然是不能采用的,因为这将使P=0,即杆件不能承载,这同杆件可以在一定荷载下保持直线状态的事实发生矛盾。因此其最小值是w=1,由此得出的临界荷载为naEJ(7·1-3a)Pam-12

此式即为通称的欧拉公式。式中的是杆件截面的最小惯矩。

若以k=T代入y=Casinkx中,可得y=Czsin_Mx

此式表明在P作用下,杆件的弯曲曲线成为一条具有半个波长的正弦曲线。如以x=1代入,则得Ymuu =C:

C1的物理意义就是指杆件中点处所发生的最大挠度,以表示,则杆件的弯曲曲线公式为 y = 8sin _nxB

当PくPa时,8=01当P=P时,式中的态是个不确定的数值。杆件可能发生弯曲,而可取任意值。若以P为纵坐标,8为横坐标作出曲线,则将如图 7-2

图7-2中所示的折线OAB。8不确定性的存在,是由于我们在导出欧拉公式时略去了一阶导数的diydx代替了准确的曲率公式平方项,而以近似的曲率公式dxa

因此那个近似公式只在挠度很小时才可适用,而对较大的挠度则不能适用。如用准确公式代替近似公式,则导得的挠度公式应由O.AC表示。实际试验中则因荷载偏心无法避免、杆件不能绝对

的直、材料不能绝对的均质等因素,当荷载小于临界荷载的理论值时,挠度即开始发生,但增加较缓,越接近理论值则增加越快,其所得的荷载-挠度曲线如OD形状。对于较细较长的长杆,

其实测结果如O.A'C所示,开始失稳时的荷载大于最小临界值随即迅速下降。

从(7·1-2)式可见,压杆的临界荷载P只由杆件的尺寸和材料的弹性模量决定,而与材料的强度无关。要提高临界力,需要增大截面惯矩,也就是使材料分布到尽可能的离横截面主轴较远的地方。对于玻璃钢,由于其弹性模量较低,现实可行的办法只能依靠增大截面的惯矩J,用玻璃钢管作为承压杆件是比较恰当的。当然,也可以使用碳纤维、硼纤维等其他增强材料以提高弹性模量。

从(7·1-2)式推导过程还可看出,如改变杆件两端的支承情况,就将改变边界条件,使求得的欧拉公式也具有不同的形式。可以将各种支承情况下的欧拉公式的一般表达式写为:则常用的四种支承情况下的1折值可列表如下:

纯碎的典型形式。在判断杆件端部的支承情况时应十分谨慎,否则往往会引起严重后果。

分析欧拉公式的适用范围时,我们将临界力P,用压杆的截面积F来除,得临界应力oa为Par式中i—回转半径:

2——压杆的柔度,】大则杆件细长,小则粗短。从(7·1-4)式看,它与强度极限无关,0值将随i的减小而增大,当小到一定值时,o,将大于os,这时杆件的计算就应由材料的强度控制。为了求得欧拉公式的适用范围,可利用欧拉临界应力等于强度极限这个条件,即R1E将玻璃钢的强度极限代入上式,(常用的1:1布、50%树脂含量时)即得x*×1.5×10*-d 



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